微分積分学準備例

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ を方程式で書きます。

$y = 5 \sqrt{x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 5 \sqrt{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $5 \sqrt{y} = x$ として書き換えます。

$5 \sqrt{y} = x$

ステップ 3.2

$5 \sqrt{y} = x$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$5 \sqrt{y} = x$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sqrt{y}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{y} = \frac{x}{5}$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(\frac{x}{5})}^{2}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(\frac{x}{5})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

積の法則を $\frac{x}{5}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{2}}{5^{2}}$

ステップ 3.4.3.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x^{2}}{25}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ が $f (x) = 5 \sqrt{x}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (5 \sqrt{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{25}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

積の法則を $5 \sqrt{x}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

ステップ 5.2.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

ステップ 5.2.3.3

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

ステップ 5.2.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

ステップ 5.2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

ステップ 5.2.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

ステップ 5.2.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

ステップ 5.2.3.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

ステップ 5.2.4

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{2}}{25})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

ステップ 5.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.5

$\frac{x^{2}}{5^{2}}$ を ${(\frac{x}{5})}^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

ステップ 5.3.7

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{25}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ は $f (x) = 5 \sqrt{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例