微分積分学準備例

$f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ , $[- 2, 2]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[- 2, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $- 2 x^{3} + 6 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.2.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$- 6 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 x^{2} + 6 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$- 6 x^{2} + 6$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 6 x^{2} + 6$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 6 x^{2} + 6$ です。

$- 6 x^{2} + 6$

ステップ 4

微分係数が $(- 2, 2)$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(- 2, 2)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(- 2, 2)$ で連続なので、関数は $(- 2, 2)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[- 2, 2]$ で連続し、 $(- 2, 2)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[- 2, 2]$ で連続し、 $(- 2, 2)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[- 2, 2]$ から $f (a)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

指数を足して $- 2$ に ${(- 2)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$- 2$ に ${(- 2)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1.1

$- 2$ を $1$ 乗します。

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

ステップ 7.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 3} + 6 (- 2) - 2$

ステップ 7.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + 6 (- 2) - 2$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = 16 + 6 (- 2) - 2$

ステップ 7.2.1.3

$6$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = 16 - 12 - 2$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$16$ から $12$ を引きます。

$f (- 2) = 4 - 2$

ステップ 7.2.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f (- 2) = 2$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 8

区間 $[- 2, 2]$ から $f (b)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = - 2 {(2)}^{3} + 6 (2) - 2$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = - 2 \cdot 8 + 6 (2) - 2$

ステップ 8.2.1.2

$- 2$ に $8$ をかけます。

$f (2) = - 16 + 6 (2) - 2$

ステップ 8.2.1.3

$6$ に $2$ をかけます。

$f (2) = - 16 + 12 - 2$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 16$ と $12$ をたし算します。

$f (2) = - 4 - 2$

ステップ 8.2.2.2

$- 4$ から $2$ を引きます。

$f (2) = - 6$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 9

$x$ について $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{(- 6) - (2)}{(2) - (- 2)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$(- 6) - (2)$ と $(2) - (- 2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1.1

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6) - (2)}{(2) - (- 2)}$

ステップ 9.1.1.1.2

$- 1$ を $- 1 (6) - (2)$ で因数分解します。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6 + 2)}{(2) - (- 2)}$

ステップ 9.1.1.1.3

$2$ を $- 1 (6 + 2)$ で因数分解します。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 - (- 2)}$

ステップ 9.1.1.1.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) - (- 2)}$

ステップ 9.1.1.1.4.2

$2$ を $- (- 2)$ で因数分解します。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) + 2 (- (- 1))}$

ステップ 9.1.1.1.4.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- (- 1))$ で因数分解します。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

ステップ 9.1.1.1.4.4

共通因数を約分します。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

ステップ 9.1.1.1.4.5

式を書き換えます。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (3 + 1)}{1 - (- 1)}$

ステップ 9.1.1.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 - (- 1)}$

ステップ 9.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 + 1}$

ステップ 9.1.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{2}$

ステップ 9.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 4}{2}$

ステップ 9.1.3.2

$- 4$ を $2$ で割ります。

$- 6 x^{2} + 6 = - 2$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- 6 x^{2} = - 2 - 6$

ステップ 9.2.2

$- 2$ から $6$ を引きます。

$- 6 x^{2} = - 8$

ステップ 9.3

$- 6 x^{2} = - 8$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$- 6 x^{2} = - 8$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

ステップ 9.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 8}{- 6}$

ステップ 9.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$- 8$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1.1

$- 2$ を $- 8$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{- 2 (4)}{- 6}$

ステップ 9.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1.2.1

$- 2$ を $- 6$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

ステップ 9.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

ステップ 9.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{4}{3}$

ステップ 9.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 9.5

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 9.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 9.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 9.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 9.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 9.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = - 2$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ における接線があり、端点 $a = - 2$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 11

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = - 2$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ における接線があり、端点 $a = - 2$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例