微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 - x} + \frac{\sqrt{25 - x^{2}} - 9}{1 - | x - 3 |}$

ステップ 1

$\sqrt{25 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$25 - x^{2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $25$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 25$

ステップ 2.2

$- x^{2} \geq - 25$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- x^{2} \geq - 25$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 25$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 25$

ステップ 2.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

ステップ 2.4

方程式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{25}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$\sqrt{25}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

ステップ 2.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 5 |$

ステップ 2.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$| x | \leq 5$

ステップ 2.5

$| x | \leq 5$ を区分で書きます。

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ステップ 2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 5$

ステップ 2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 5$

ステップ 2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.6

$x \leq 5$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 5$

ステップ 2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 5$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$- x \leq 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- x \leq 5$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{5}{- 1}$

ステップ 2.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.3.1

$5$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 5$

ステップ 2.7.2

$x \geq - 5$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 5 \leq x < 0$

ステップ 2.8

解の和集合を求めます。

$- 5 \leq x \leq 5$

ステップ 3

$\frac{2 x - 1}{3 - x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 - x = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x = - 3$

ステップ 4.2

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 5

$\frac{\sqrt{25 - x^{2}} - 9}{1 - | x - 3 |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - | x - 3 | = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- | x - 3 | = - 1$

ステップ 6.2

$- | x - 3 | = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- | x - 3 | = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

$| x - 3 |$ を $1$ で割ります。

$| x - 3 | = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$| x - 3 | = 1$

ステップ 6.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x - 3 = \pm 1$

ステップ 6.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x - 3 = 1$

ステップ 6.4.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 1 + 3$

ステップ 6.4.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$x = 4$

ステップ 6.4.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x - 3 = - 1$

ステップ 6.4.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.4.4.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = - 1 + 3$

ステップ 6.4.4.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$x = 2$

ステップ 6.4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, 2$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 5, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4) \cup (4, 5]$

集合の内包的記法：

${x | - 5 \leq x \leq 5, x \neq 2, 3, 4}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例