微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 3, - 2$

ステップ 2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x - 2) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.7

最終解は $(x - 3) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, 2$

ステップ 2.8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1$

$x = 3, 2$

ステップ 2.9

解をまとめます。

$x = 1, 3, 2$

ステップ 2.10

$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.10.1

$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

ステップ 2.10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.10.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.10.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 3, - 2$

ステップ 2.10.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x - 2) = 0$

ステップ 2.10.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.10.2.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.10.2.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.10.2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.10.2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.10.2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.10.2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.10.2.5

最終解は $(x - 3) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, 2$

ステップ 2.10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 2.11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 2.12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.12.1

区間 $x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.1.1

区間 $x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.12.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6} \geq 0$

ステップ 2.12.1.3

左辺 $- 0.1\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.12.2

区間 $1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.2.1

区間 $1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.5$

ステップ 2.12.2.2

$x$ を元の不等式の $1.5$ で置き換えます。

$\frac{(1.5) - 1}{{(1.5)}^{2} - 5 \cdot 1.5 + 6} \geq 0$

ステップ 2.12.2.3

左辺 $0.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.12.3

区間 $2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.3.1

区間 $2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2.5$

ステップ 2.12.3.2

$x$ を元の不等式の $2.5$ で置き換えます。

$\frac{(2.5) - 1}{{(2.5)}^{2} - 5 \cdot 2.5 + 6} \geq 0$

ステップ 2.12.3.3

左辺 $- 6$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.12.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.12.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{(6) - 1}{{(6)}^{2} - 5 \cdot 6 + 6} \geq 0$

ステップ 2.12.4.3

左辺 $0.41\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1$ 偽

$1 < x < 2$ 真

$2 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < 1$ 偽

$1 < x < 2$ 真

$2 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 2.13

解はすべての真の区間からなります。

$1 \leq x < 2$ または $x > 3$

ステップ 3

$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 3, - 2$

ステップ 4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x - 2) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.5

最終解は $(x - 3) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, 2$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[1, 2) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | 1 \leq x < 2, x > 3}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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