代数学準備例

$\frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$

ステップ 2

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$

ステップ 3

$\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 2) (x + 3) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

ステップ 4.2

$\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$ に $\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 1) (x + 3) (x + 2)}$

ステップ 4.3

$(x - 1) (x + 3) (x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x (x - 1) + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 6.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x (x + 2) - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.5

$x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.5.1

$x \cdot 2$ と $- 2 x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.5.2

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.5.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x^{2} - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.6.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x^{2} - 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

ステップ 6.7

$3 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

代数学準備 例

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