代数学準備例

$\frac{27 x^{3} - 64}{9 x^{2} + 12 x + 16} \div \frac{x - 4}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{27 x^{3} - 64}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$27 x^{3}$ を ${(3 x)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(3 x)}^{3} - 64}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 2.2

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(3 x)}^{3} - 4^{3}}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 2.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{(3 x - 4) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2})}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$\frac{(3 x - 4) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2})}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 2.4.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(3 x - 4) (9 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2})}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 2.4.3

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 4^{2})}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 2.4.4

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 16)}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 3

$9 x^{2} + 12 x + 16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 16)}{9 x^{2} + 12 x + 16} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 3.2

$3 x - 4$ を $1$ で割ります。

$(3 x - 4) \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

ステップ 4

${(x - 4)}^{2}$ と $x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$x - 4$ を ${(x - 4)}^{2}$ で因数分解します。

$(3 x - 4) \frac{(x - 4) (x - 4)}{x - 4}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を掛けます。

$(3 x - 4) \frac{(x - 4) (x - 4)}{(x - 4) \cdot 1}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$(3 x - 4) \frac{(x - 4) (x - 4)}{(x - 4) \cdot 1}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$(3 x - 4) \frac{x - 4}{1}$

ステップ 4.2.4

$x - 4$ を $1$ で割ります。

$(3 x - 4) (x - 4)$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x - 4) (x - 4)$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$3 x (x - 4) - 4 (x - 4)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.1.1.1

$x$ を移動させます。

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

ステップ 6.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

ステップ 6.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x - 4 x - 4 \cdot - 4$

ステップ 6.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x - 4 x + 16$

ステップ 6.2

$- 12 x$ から $4 x$ を引きます。

$3 x^{2} - 16 x + 16$

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