代数学準備例

$\frac{\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p}}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $p^{2} - 4 p - 5$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $- 4$ です。

$- 5, 1$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $- p$ で因数分解します。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - (p) - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + (1 - 2) p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + 1 p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 4.1.4

$p$ に $1$ をかけます。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p^{2} + p) - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{p (2 p + 1) - (2 p + 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 4.3

最大公約数 $2 p + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 5

$p$ を $p^{2} + p$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$p$ を $p^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 5.2

$p$ を $1$ 乗します。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p^{1}} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 5.3

$p$ を $p^{1}$ で因数分解します。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p \cdot 1} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 5.4

$p$ を $p \cdot p + p \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 6

$p + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$p + 1$ を $(p - 5) (p + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 6.2

$p + 1$ を $p (p + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 6.3

共通因数を約分します。

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 6.4

式を書き換えます。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 7

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)}$ に $\frac{1}{p}$ をかけます。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

ステップ 8

たすき掛けを利用して $p^{2} + p - 2$ を因数分解します。

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ステップ 8.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 8.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$

ステップ 9

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ を掛けます。

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ステップ 9.1

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p}$ に $\frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ をかけます。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

ステップ 9.2

$p - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

ステップ 9.3

$p - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

ステップ 9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

ステップ 9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

書き換えます。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

ステップ 10.2

$p - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

ステップ 10.3

$p - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

ステップ 10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

ステップ 10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

ステップ 10.6

不要な括弧を削除します。

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

ステップ 11

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

ステップ 12

分数 $\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

ステップ 13

$p$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

共通因数を約分します。

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

ステップ 13.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

ステップ 14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} - \frac{5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

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