代数学準備例

$9 y^{2} - 12 y + 13 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 9$ 、 $b = - 12$ 、および $c = 13$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 13)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 13$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.2.2

$- 36$ に $13$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.3

$144$ から $468$ を引きます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.4

$- 324$ を $- 1 (324)$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.5

$\sqrt{- 1 (324)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.7

$324$ を $18^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.1.9

$18$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.2

$2$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

ステップ 3.3

$\frac{12 \pm 18 i}{18}$ を簡約します。

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

ステップ 4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 13$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.2.2

$- 36$ に $13$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.3

$144$ から $468$ を引きます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.4

$- 324$ を $- 1 (324)$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.5

$\sqrt{- 1 (324)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.7

$324$ を $18^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.9

$18$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

ステップ 4.3

$\frac{12 \pm 18 i}{18}$ を簡約します。

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

ステップ 4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{2 + 3 i}{3}$

ステップ 4.5

分数 $\frac{2 + 3 i}{3}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 i}{3}$

ステップ 4.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 i}{3}$

ステップ 4.6.2

$i$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2}{3} + i$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 13$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.2.2

$- 36$ に $13$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.3

$144$ から $468$ を引きます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.4

$- 324$ を $- 1 (324)$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.5

$\sqrt{- 1 (324)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.7

$324$ を $18^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.9

$18$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.2

$2$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

ステップ 5.3

$\frac{12 \pm 18 i}{18}$ を簡約します。

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{2 - 3 i}{3}$

ステップ 5.5

分数 $\frac{2 - 3 i}{3}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{2}{3} + \frac{- 3 i}{3}$

ステップ 5.6

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$3$ を $- 3 i$ で因数分解します。

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3 (1)}$

ステップ 5.6.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3 \cdot 1}$

ステップ 5.6.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2}{3} + \frac{- i}{1}$

ステップ 5.6.2.4

$- i$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2}{3} - i$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{2}{3} + i, \frac{2}{3} - i$

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