代数学準備例

$\frac{\frac{5 + x^{2}}{7 \sqrt{x}} - 7 x \sqrt{x}}{{(5 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 1

式 $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 2

$\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

約分します。

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ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.2

$x$ を $x^{\frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1

$x$ を $7 x {(5 + x^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{x (7 {(5 + x^{2})}^{2})}$

ステップ 3.1.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{x (7 {(5 + x^{2})}^{2})}$

ステップ 3.1.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})}{7 {(5 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{7 {(5 + x^{2})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{7}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{{(5 + x^{2})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{{(5 + x^{2})}^{2} \sqrt{x}}$

ステップ 3.4

${(5 + x^{2})}^{2} \sqrt{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{\sqrt{x} {(5 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ります。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{- 48 x^{2}}{x^{4}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6

項を簡約します。

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ステップ 3.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$x^{2}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1.1.1

$x^{2}$ を $- 48 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{4}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{2} x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{2} x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{- 48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2.2

${(\frac{5}{x^{2}} + 1)}^{2}$ を $(\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)}$

ステップ 3.7

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} (\frac{5}{x^{2}} + 1) + 1 (\frac{5}{x^{2}} + 1))}$

ステップ 3.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 (\frac{5}{x^{2}} + 1))}$

ステップ 3.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.8.1.1

まとめる。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.8.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.8.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{2 + 2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.8.1.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.8.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.8.1.4

$\frac{5}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.8.1.5

$\frac{5}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.8.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 1)}$

ステップ 3.8.2

$\frac{5}{x^{2}}$ と $\frac{5}{x^{2}}$ をたし算します。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + 2 \frac{5}{x^{2}} + 1)}$

ステップ 3.9

$2 \frac{5}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.9.1

$2$ と $\frac{5}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 1)}$

ステップ 3.9.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + 1)}$

ステップ 3.10

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} \frac{25}{x^{4}} + \sqrt{x} \frac{10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

$\sqrt{x}$ と $\frac{25}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \sqrt{x} \frac{10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

ステップ 3.11.2

$\sqrt{x}$ と $\frac{10}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

ステップ 3.11.3

$\sqrt{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 10}{x^{2}} + \sqrt{x}}$

ステップ 3.12

各項を簡約します。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{25 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10 \sqrt{x}}{x^{2}} + \sqrt{x}}$

ステップ 3.13

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{25 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10 \sqrt{x}}{x^{2}} + \sqrt{x}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{7} \cdot 0$

ステップ 3.14

$\frac{1}{7}$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 7

代数学準備 例

代数学準備例