代数学準備例

$5 x^{2} y + 8 x y^{2} = - 2$

ステップ 1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$5 x^{2} y + 8 x y^{2} + 2 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 8 x$ 、 $b = 5 x^{2}$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{{(5 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x \cdot 2)}}{2 (8 x)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $5 x^{2}$ に当てはめます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{5^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.1.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.1.4

$- 4$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 32 x \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.1.5

$2$ に $- 32$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.1.6

$x$ を $25 x^{4} - 64 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.6.1

$x$ を $25 x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.1.6.2

$x$ を $- 64 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) + x \cdot - 64}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.1.6.3

$x$ を $x (25 x^{3}) + x \cdot - 64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 4.2

$2$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

積の法則を $5 x^{2}$ に当てはめます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{5^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.1.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.1.4

$- 4$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 32 x \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.1.5

$2$ に $- 32$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.1.6

$x$ を $25 x^{4} - 64 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.6.1

$x$ を $25 x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.1.6.2

$x$ を $- 64 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) + x \cdot - 64}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.1.6.3

$x$ を $x (25 x^{3}) + x \cdot - 64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 5.2

$2$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- 5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $- 5 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (5 x^{2}) + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $\sqrt{x (25 x^{3} - 64)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (5 x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- (5 x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

ステップ 5.7

$- (5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ を $- 1 (5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

ステップ 5.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

積の法則を $5 x^{2}$ に当てはめます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{5^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.1.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.1.4

$- 4$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 32 x \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.1.5

$2$ に $- 32$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.1.6

$x$ を $25 x^{4} - 64 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.6.1

$x$ を $25 x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.1.6.2

$x$ を $- 64 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) + x \cdot - 64}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.1.6.3

$x$ を $x (25 x^{3}) + x \cdot - 64$ で因数分解します。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{2 \cdot (8 x)}$

ステップ 6.2

$2$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- 5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 6.4

$- 1$ を $- 5 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (5 x^{2}) - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 6.5

$- 1$ を $- \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (5 x^{2}) - (\sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

ステップ 6.6

$- 1$ を $- (5 x^{2}) - (\sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

ステップ 6.7

$- (5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ を $- 1 (5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

ステップ 6.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

$y = - \frac{5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

ステップ 8

与えられた方程式 $y = - \frac{5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}, - \frac{5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$ は $y = k x^{2}$ として書くことができません。そのため、 $y$ は $x^{2}$ と直接変化しません。

$y$ は $x$ と正比例しません

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