代数学準備例

$\frac{- 3}{x^{2} - 2 x - 8} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{- 3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

ステップ 1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

ステップ 1.3

分母を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 4^{2}}$

ステップ 1.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 2

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 4}{x + 4}$ を掛けます。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 3

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ に $\frac{x + 4}{x + 4}$ をかけます。

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

ステップ 4.2

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ に $\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

ステップ 4.3

$(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

ステップ 4.4

$(x + 4) (x - 4) (x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 (x + 4) + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x - 3 \cdot 4 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 3 x - 12 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x - 12 + x \cdot x + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.4

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + 2 \cdot x}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.6

$- 3 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{- x - 12 + x^{2}}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.7

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - x - 12}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.8

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 6.8.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 6.8.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 7

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 4)}$

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