線形代数例

$x - 2 y + x = 0$ , $y - 3 z = - 1$ , $2 y + 5 z = - 2$

ステップ 1

連立方程式から $A X = B$ を求めます。

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}]$

ステップ 2

係数行列の逆を求めます。

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ステップ 2.1

Find the determinant.

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ステップ 2.1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 2.1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 2 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 2 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

$0$ に $| \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 2 & 5 \end{array} |$ をかけます。

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

ステップ 2.1.3

$0$ に $| \begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 1 & - 3 \end{array} |$ をかけます。

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 5 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 (1 \cdot 5 - 2 \cdot - 3) + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$2 (5 - 2 \cdot - 3) + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.2.1.2

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$2 (5 + 6) + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.2.2

$5$ と $6$ をたし算します。

$2 \cdot 11 + 0 + 0$

ステップ 2.1.5

行列式を簡約します。

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ステップ 2.1.5.1

$2$ に $11$ をかけます。

$22 + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.2

$22$ と $0$ をたし算します。

$22 + 0$

ステップ 2.1.5.3

$22$ と $0$ をたし算します。

$22$

ステップ 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 2.3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 2.4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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ステップ 2.4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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ステップ 2.4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot - 3 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 2.4.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 11 & 0 & - 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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ステップ 2.4.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{11} & \frac{0}{11} & \frac{11}{11} & \frac{0}{11} & \frac{- 2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}]$

ステップ 2.4.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}]$

ステップ 2.4.4

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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ステップ 2.4.4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 (- \frac{2}{11}) & 0 + 3 (\frac{1}{11}) \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}]$

ステップ 2.4.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}]$

ステップ 2.4.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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ステップ 2.4.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & \frac{1}{2} + 0 & 0 + \frac{5}{11} & 0 + \frac{3}{11} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}]$

ステップ 2.4.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}]$

ステップ 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}]$

ステップ 3

行列式の両辺に逆行列を左掛けします。

$([\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}]$

ステップ 4

逆行列を掛けた行列は常に $1$ と等しくなります。 $A \cdot A^{- 1} = 1$ です。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}]$

ステップ 5

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & - \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

ステップ 5.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{5}{11} \cdot - 1 + \frac{3}{11} \cdot - 2 \\ 0 \cdot 0 + \frac{5}{11} \cdot - 1 + \frac{3}{11} \cdot - 2 \\ 0 \cdot 0 - \frac{2}{11} \cdot - 1 + \frac{1}{11} \cdot - 2 \end{array}]$

ステップ 5.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 6

左辺と右辺を簡約します。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 7

解を求めます。

$x = - 1$

$y = - 1$

$z = 0$

線形代数 例

線形代数例