線形代数例

$x + y = 9$ , $x - \frac{1}{9} y = - 3$

ステップ 1

連立方程式から $A X = B$ を求めます。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \end{array}]$

ステップ 2

係数行列の逆を求めます。

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ステップ 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2.2

Find the determinant.

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ステップ 2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 (- \frac{1}{9}) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$- \frac{1}{9}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{9} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{9} - 1$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$- \frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$- \frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

ステップ 2.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 9}{9}$

ステップ 2.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.2.5.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 1 - 9}{9}$

ステップ 2.2.2.5.2

$- 1$ から $9$ を引きます。

$\frac{- 10}{9}$

ステップ 2.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10}{9}$

ステップ 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{10}{9}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.5

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{10}{9}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\frac{10}{9}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 (\frac{9}{10})) [\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.7

$\frac{9}{10}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{9}{10} [\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.8

$- \frac{9}{10}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{9}{10} (- \frac{1}{9}) & - \frac{9}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.1.1

$- \frac{9}{10}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 9}{10} (- \frac{1}{9}) & - \frac{9}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.1.2

$- \frac{1}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 9}{10} \cdot \frac{- 1}{9} & - \frac{9}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.1.3

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{9 (- 1)}{10} \cdot \frac{- 1}{9} & - \frac{9}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.1.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{9 \cdot - 1}{10} \cdot \frac{- 1}{9} & - \frac{9}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.1.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.2

$\frac{- 1}{10}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{10} & - \frac{9}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & - \frac{9}{10} \cdot - 1 \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.4

$- \frac{9}{10} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.9.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & 1 (\frac{9}{10}) \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.4.2

$\frac{9}{10}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \\ - \frac{9}{10} \cdot - 1 & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.5

$- \frac{9}{10} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.9.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \\ 1 (\frac{9}{10}) & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.5.2

$\frac{9}{10}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \\ \frac{9}{10} & - \frac{9}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.9.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \\ \frac{9}{10} & - \frac{9}{10} \end{array}]$

ステップ 3

行列式の両辺に逆行列を左掛けします。

$([\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \\ \frac{9}{10} & - \frac{9}{10} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - \frac{1}{9} \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \\ \frac{9}{10} & - \frac{9}{10} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \end{array}]$

ステップ 4

逆行列を掛けた行列は常に $1$ と等しくなります。 $A \cdot A^{- 1} = 1$ です。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \\ \frac{9}{10} & - \frac{9}{10} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \end{array}]$

ステップ 5

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \\ \frac{9}{10} & - \frac{9}{10} \end{array}] [\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

ステップ 5.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} \cdot 9 + \frac{9}{10} \cdot - 3 \\ \frac{9}{10} \cdot 9 - \frac{9}{10} \cdot - 3 \end{array}]$

ステップ 5.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $108$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{9}{5} \\ \frac{2 (54)}{10} \end{array}]$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{9}{5} \\ \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 5} \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{9}{5} \\ \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 5} \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{9}{5} \\ \frac{54}{5} \end{array}]$

ステップ 6

左辺と右辺を簡約します。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{9}{5} \\ \frac{54}{5} \end{array}]$

ステップ 7

解を求めます。

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{54}{5}$

線形代数 例

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