線形代数例

$[\begin{array}{c} x + 1 & 1 & 1 \\ 1 & x - 1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(x + 1) | \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$(x + 1) | \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$(x + 1) ((x - 1) x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x \cdot x - 1 x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.2.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (1 x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 \cdot 1 - (x - 1))$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - (x - 1))$

ステップ 4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x - - 1)$

ステップ 4.2.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x + 1)$

ステップ 4.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5

行列式を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x + 1) (x^{2} - x - 1)$ を展開します。

$x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.1.2.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.4

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{3} - x^{2} - x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.7

$- x$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.3

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.3.1

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$x^{3} - x + 0 - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.3.2

$x^{3} - x$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} - x - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.4

$- x$ から $x$ を引きます。

$x^{3} - 2 x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.5

分配則を当てはめます。

$x^{3} - 2 x - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.6

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{3} - 2 x - 1 - x - 1 \cdot - 1 + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 + 1 (- x + 2)$

ステップ 5.1.8

$- x + 2$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 - x + 2$

ステップ 5.2

$x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 - x + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} - 2 x - x + 0 - x + 2$

ステップ 5.2.2

$x^{3} - 2 x - x$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} - 2 x - x - x + 2$

ステップ 5.3

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$x^{3} - 3 x - x + 2$

ステップ 5.4

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$x^{3} - 4 x + 2$

線形代数 例

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