線形代数例

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 \\ - 2 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (4 - λ) (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - λ) (2 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 4 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.1

$4$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = 8 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 4 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- 4 λ$ から $2 λ$ を引きます。

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

ステップ 1.5.2.1.3

$- (- 2 \cdot - 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.3.1

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.1.3.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 8$

ステップ 1.5.2.2

$8 - 6 λ + λ^{2} - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1

$8$ から $8$ を引きます。

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 0$

ステップ 1.5.2.2.2

$- 6 λ + λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2}$

ステップ 1.5.2.3

$- 6 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 6 λ = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$λ$ を $λ^{2} - 6 λ$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$λ$ を $λ^{2}$ で因数分解します。

$λ \cdot λ - 6 λ = 0$

ステップ 1.7.1.2

$λ$ を $- 6 λ$ で因数分解します。

$λ \cdot λ + λ \cdot - 6 = 0$

ステップ 1.7.1.3

$λ$ を $λ \cdot λ + λ \cdot - 6$ で因数分解します。

$λ (λ - 6) = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ = 0$

$λ - 6 = 0$

ステップ 1.7.3

$λ$ が $0$ に等しいとします。

$λ = 0$

ステップ 1.7.4

$λ - 6$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$λ - 6$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 6 = 0$

ステップ 1.7.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$λ = 6$

ステップ 1.7.5

最終解は $λ (λ - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 0, 6$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$0$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 4 + 0 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.2

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.3

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.4

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 4}{4} & \frac{0}{4} \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 6$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 6$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 6$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 6$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- 6$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 6$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$4$ から $6$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 & 2 - 6 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$2$ から $6$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = 6$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 2 y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 y \\ y \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

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