線形代数例

$- 3 + 4 i$

ステップ 1

公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して $(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

ステップ 2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{9 + 16}$

ステップ 2.3

$9$ と $16$ をたし算します。

$r = \sqrt{25}$

ステップ 2.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{5^{2}}$

ステップ 2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = 5$

ステップ 3

参照角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

ステップ 4

$\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

ステップ 4.2

$- \frac{4}{3}$ は約 $- 1.\overline{3}$ 。負の数なので $- \frac{4}{3}$ は無効で、絶対値を削除します

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

ステップ 4.3

$\arctan (\frac{4}{3})$ の値を求めます。

$θ̂ = 0.92729521$

ステップ 5

$x$ が負で $y$ が正なので、点は第二象限に位置します。象限は右上から反時計回りに名前が付けられます。

象限 $2$

ステップ 6

$(a, b)$ は第二象限にあります。 $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

ステップ 7

$θ$ を簡約します。

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ステップ 7.1

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 0.92729521$

ステップ 7.2

$3.14159265$ から $0.92729521$ を引きます。

$2.21429743$

ステップ 8

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 9

$r$ 、 $n$ 、および $θ$ を公式に代入します。

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ステップ 9.1

10進法の概算で置き換えます。

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{3}$

ステップ 9.2

$3.14159265$ から $0.92729521$ を引きます。

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$

ステップ 9.3

${(5)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

ステップ 9.4

$c$ と $\frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

ステップ 9.5

$i$ と $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

ステップ 9.6

$s$ と $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

ステップ 9.7

括弧を削除します。

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ステップ 9.7.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

ステップ 9.7.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

ステップ 9.7.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

ステップ 9.7.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

ステップ 9.7.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

ステップ 9.7.6

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

ステップ 9.7.7

括弧を削除します。

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

ステップ 10

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 10.1

括弧を削除します。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{3})$

ステップ 10.2

10進法の概算で置き換えます。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{3})$

ステップ 10.3

$3.14159265$ から $0.92729521$ を引きます。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{3})$

ステップ 10.4

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 10.4.1

$0$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{3})$

ステップ 10.4.2

$0$ に $π$ をかけます。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{3})$

ステップ 10.5

$2.21429743$ と $0$ をたし算します。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743}{3})$

ステップ 10.6

$2.21429743$ を $3$ で割ります。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 0.73809914$

ステップ 10.7

$5^{\frac{1}{3}} c i s$ に $0.73809914$ をかけます。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

ステップ 11

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{3})$

ステップ 11.2

10進法の概算で置き換えます。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{3})$

ステップ 11.3

$3.14159265$ から $0.92729521$ を引きます。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{3})$

ステップ 11.4

$2$ に $1$ をかけます。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{3})$

ステップ 11.5

$2.21429743$ と $2 π$ をたし算します。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{8.49748274}{3})$

ステップ 11.6

$8.49748274$ を $3$ で割ります。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 2.83249424$

ステップ 11.7

$5^{\frac{1}{3}} c i s$ に $2.83249424$ をかけます。

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

ステップ 12

$k = 2$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (2)}{3})$

ステップ 12.2

10進法の概算で置き換えます。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (2)}{3})$

ステップ 12.3

$3.14159265$ から $0.92729521$ を引きます。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (2)}{3})$

ステップ 12.4

$2$ に $2$ をかけます。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 4 π}{3})$

ステップ 12.5

$2.21429743$ と $4 π$ をたし算します。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{14.78066804}{3})$

ステップ 12.6

$14.78066804$ を $3$ で割ります。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 4.92688934$

ステップ 12.7

$5^{\frac{1}{3}} c i s$ に $4.92688934$ をかけます。

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$

ステップ 13

解をまとめます。

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$

線形代数 例

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