有限数学例

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

ステップ 1

方程式の両辺から $15 \sqrt{x}$ を引きます。

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

ステップ 2

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

ステップ 2.1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 2.1.1.3

多項式を書き換えます。

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

ステップ 2.1.1.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

ステップ 2.2

$12 \sqrt{x}$ から $15 \sqrt{x}$ を引きます。

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

ステップ 3

$- 3 \sqrt{x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

ステップ 4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

ステップ 5

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

積の法則を $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.4

簡約します。

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

${(- x + 5)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

${(- x + 5)}^{2}$ を $(- x + 5) (- x + 5)$ に書き換えます。

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

ステップ 5.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 5) (- x + 5)$ を展開します。

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ステップ 5.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

ステップ 5.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

ステップ 5.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

ステップ 5.3.1.3.1.7

$5$ に $5$ をかけます。

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

ステップ 5.3.1.3.2

$- 5 x$ から $5 x$ を引きます。

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

ステップ 6.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $9 x$ を引きます。

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

ステップ 6.2.2

$- 10 x$ から $9 x$ を引きます。

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

ステップ 6.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.4

$a = 1$ 、 $b = - 19$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1.1

$- 19$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 6.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.3

$361$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.4

$261$ を $3^{2} \cdot 29$ に書き換えます。

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ステップ 6.5.1.4.1

$9$ を $261$ で因数分解します。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

ステップ 6.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.6.1.1

$- 19$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 6.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.3

$361$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.4

$261$ を $3^{2} \cdot 29$ に書き換えます。

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ステップ 6.6.1.4.1

$9$ を $261$ で因数分解します。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

ステップ 6.6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

ステップ 6.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.7.1.1

$- 19$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.3

$361$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.4

$261$ を $3^{2} \cdot 29$ に書き換えます。

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ステップ 6.7.1.4.1

$9$ を $261$ で因数分解します。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

ステップ 6.7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

ステップ 6.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

ステップ 7

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

10進法形式：

$x = 17.57774721 \dots$

有限数学 例

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