有限数学例

$\frac{256 x^{2} - y^{2}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

ステップ 1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$256 x^{2}$ を ${(16 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(16 x)}^{2} - y^{2}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 16 x$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

ステップ 2

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$ をかけます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$

ステップ 3

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$ をかけます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}$

ステップ 4

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{{\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x y^{2}} - \sqrt[4]{x y^{2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${\sqrt[4]{x}}^{2}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{{(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{1}{4} \cdot 2} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5.1.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2}{4}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5.1.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 (1)}{4}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{1}{2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5.1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - {\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 5.2

${\sqrt{y}}^{2}$ を $y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{1}}$

ステップ 5.2.5

簡約します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$

ステップ 6

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$ に $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$ をかけます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y} \cdot \frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$ に $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$ をかけます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{(\sqrt{x} - y) (\sqrt{x} + y)}$

ステップ 7.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} y - y \sqrt{x} - y^{2}}$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - y^{2}}$

ステップ 7.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y^{2}}$

ステップ 7.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{2}{2}} - y^{2}}$

ステップ 7.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{2}{2}} - y^{2}}$

ステップ 7.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{1} - y^{2}}$

ステップ 7.3.5

簡約します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x - y^{2}}$

ステップ 7.4

$\sqrt{x} + y$ と $\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}$ をまとめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((\sqrt{x} + y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

ステップ 8

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{x} + y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})$ を展開します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) + y (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 9

各項を簡約します。

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ステップ 9.1

$\sqrt{x} \sqrt[4]{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

最小共通指数 $4$ を利用して式を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 9.1.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{2}{4}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 9.1.1.3

$x^{\frac{2}{4}}$ を $\sqrt[4]{x^{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 9.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2} x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 9.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2} x^{1}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 9.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2 + 1}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 9.1.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 9.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt{x y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{4}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + \sqrt{x y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x y}$ を ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.5

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.6

指数を足して $y$ に $y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.6.1

$y$ に $y^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{1} y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{1 + \frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.6.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{2 + 1}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.6.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7

因数分解した形で $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}}$ を書き換えます。

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ステップ 10.7.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 10.7.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{3}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}}) + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7.2

$y$ を $y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 10.7.2.1

$y$ を $y x^{\frac{1}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}}) + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7.2.2

$y$ を $y^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}}) + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7.2.3

$y$ を $y (x^{\frac{1}{4}}) + y \cdot y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7.3

$x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

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ステップ 10.7.3.1

$x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7.3.2

$x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ を $y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) y)}{x - y^{2}}$

ステップ 10.7.3.3

$x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ を $(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) y$ で因数分解します。

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}} + y))}{x - y^{2}}$

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}} + y)}{x - y^{2}}$

有限数学 例

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