有限数学例

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

ステップ 1

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{2}$ を $x^{4} - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2.1.5

$5$ を $- 5 x^{3} - 25 x - 30$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

$5$ を $- 5 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

ステップ 2.1.5.2

$5$ を $- 25 x$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

ステップ 2.1.5.3

$5$ を $- 30$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

ステップ 2.1.5.4

$5$ を $5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

ステップ 2.1.5.5

$5$ を $5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

ステップ 2.1.6

因数分解。

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ステップ 2.1.6.1

有理根検定を用いて $- x^{3} - 5 x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.6.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.6.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 2.1.6.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.6.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 2.1.6.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 2.1.6.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

ステップ 2.1.6.1.3.4

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 5 - 6$

ステップ 2.1.6.1.3.5

$1$ と $5$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 2.1.6.1.3.6

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.6.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

ステップ 2.1.6.1.5

$- x^{3} - 5 x - 6$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.6.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

ステップ 2.1.6.1.5.2

被除数 $- x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

ステップ 2.1.6.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.6.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.6.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

ステップ 2.1.6.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 2.1.6.1.5.7

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 2.1.6.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.6.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.1.6.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

ステップ 2.1.6.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

ステップ 2.1.6.1.5.12

被除数 $- 6 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

ステップ 2.1.6.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

ステップ 2.1.6.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x - 6$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

ステップ 2.1.6.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

ステップ 2.1.6.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} + x - 6$

ステップ 2.1.6.1.6

$- x^{3} - 5 x - 6$ を因数の集合として書き換えます。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.6.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

ステップ 2.1.7

$x + 1$ を $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x + 1$ を $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

ステップ 2.1.7.2

$x + 1$ を $5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.7.3

$x + 1$ を $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.8

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.9

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1.9.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.1.9.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.9.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.10

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.11

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.12

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

ステップ 2.1.13

簡約します。

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ステップ 2.1.13.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

ステップ 2.1.13.2

$5$ に $- 6$ をかけます。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

ステップ 2.1.14

$- x^{2}$ から $5 x^{2}$ を引きます。

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

ステップ 2.1.15

因数分解。

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ステップ 2.1.15.1

因数分解した形で $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ を書き換えます。

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ステップ 2.1.15.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.15.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

ステップ 2.1.15.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.15.1.2

最大公約数 $x - 6$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

ステップ 2.1.15.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.5

$x^{2} + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x^{2} = - 5$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

ステップ 2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 5}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

ステップ 2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = - 1$ （ $1$ の重複度）

$x = 6$ （ $1$ の重複度）

$x = i \sqrt{5}$ （ $1$ の重複度）

$x = - i \sqrt{5}$ （ $1$ の重複度）

$x = - 1$ （ $1$ の重複度）

$x = 6$ （ $1$ の重複度）

$x = i \sqrt{5}$ （ $1$ の重複度）

$x = - i \sqrt{5}$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

有限数学 例

有限数学例