有限数学例

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ として書き換えます。

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

ステップ 3.2

各項を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

ステップ 3.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ を約分します。

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ステップ 3.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

ステップ 3.2.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{1} = x$

ステップ 3.2.3.2

$y + 1$ を $1$ で割ります。

$y + 1 = x$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = x - 1$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x - 1$ が $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

ステップ 5.2.3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

ステップ 5.2.3.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

ステップ 5.2.3.2.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

ステップ 5.2.4

$x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x - 1)$ の値を求めます。

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

ステップ 5.3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x - 1$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

ステップ 5.3.3.3

簡約します。

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ステップ 5.3.3.3.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

ステップ 5.3.3.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

ステップ 5.3.3.3.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

ステップ 5.3.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 5.3.4.2

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1

共通因数を約分します。

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 5.3.4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (x - 1) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x - 1$ は $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x - 1$

有限数学 例

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