有限数学例

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x - 3}{x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y - 3}{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{y - 3}{y} = x$ として書き換えます。

$\frac{y - 3}{y} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1$

ステップ 3.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 3.3

$\frac{y - 3}{y} = x$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{y - 3}{y} = x$ の各項に $y$ を掛けます。

$\frac{y - 3}{y} y = x y$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y - 3}{y} y = x y$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$y - 3 = x y$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $x y$ を引きます。

$y - 3 - x y = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y - x y = 3$

ステップ 3.4.3

$y$ を $y - x y$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.3.1

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y \cdot 1 - x y = 3$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- x y$ で因数分解します。

$y \cdot 1 + y (- x) = 3$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y \cdot 1 + y (- x)$ で因数分解します。

$y (1 - x) = 3$

ステップ 3.4.4

$y (1 - x) = 3$ の各項を $1 - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$y (1 - x) = 3$ の各項を $1 - x$ で割ります。

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{3}{1 - x}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.4.2.1

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{3}{1 - x}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3}{1 - x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{1 - x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{1 - x}$ が $f (x) = \frac{x - 3}{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x - 3}{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{1 - (\frac{x - 3}{x})}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}$

ステップ 5.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{x - (x - 3)}{x}}$

ステップ 5.2.3.3

因数分解した形で $\frac{x - (x - 3)}{x}$ を書き換えます。

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ステップ 5.2.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{x - x + 3}{x}}$

ステップ 5.2.3.3.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{x - x + 3}{x}}$

ステップ 5.2.3.3.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{0 + 3}{x}}$

ステップ 5.2.3.3.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{3}{x}}$

ステップ 5.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.2.5.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{3}{1 - x})$ の値を求めます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{(\frac{3}{1 - x}) - 3}{\frac{3}{1 - x}}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = (\frac{3}{1 - x} - 3) (\frac{1 - x}{3})$

ステップ 5.3.4

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - x}{1 - x}$ を掛けます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = (\frac{3}{1 - x} - 3 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}) (\frac{1 - x}{3})$

ステップ 5.3.5

項を簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

$- 3$ と $\frac{1 - x}{1 - x}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = (\frac{3}{1 - x} + \frac{- 3 (1 - x)}{1 - x}) (\frac{1 - x}{3})$

ステップ 5.3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 - 3 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.6.1

$3$ を $3 - 3 (1 - x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.6.1.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1) - 3 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6.1.2

$3$ を $- 3 (1 - x)$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1) + 3 (- (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6.1.3

$3$ を $3 (1) + 3 (- (1 - x))$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - 1 \cdot 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6.4

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.6.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - 1 + 1 x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6.5

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (0 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.6.6

$0$ と $x$ をたし算します。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.7

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.3.7.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.7.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

ステップ 5.3.7.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

ステップ 5.3.7.2

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

ステップ 5.3.7.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{1 - x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{3}{1 - x}$ は $f (x) = \frac{x - 3}{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{1 - x}$

有限数学 例

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