有限数学例

$x^{2} + y^{2} = 36$ , $x + y = 4$

ステップ 1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x = 4 - y$

$x^{2} + y^{2} = 36$

ステップ 2

各方程式の $x$ のすべての発生を $4 - y$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x^{2} + y^{2} = 36$ の $x$ のすべての発生を $4 - y$ で置き換えます。

${(4 - y)}^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${(4 - y)}^{2} + y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

${(4 - y)}^{2}$ を $(4 - y) (4 - y)$ に書き換えます。

$(4 - y) (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - y) (4 - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$4 (4 - y) - y (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$16 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$16 - 4 y - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$16 - 4 y - 4 y - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1.5.1

$y$ を移動させます。

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$16 - 4 y - 4 y + 1 y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.1.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$- 4 y$ から $4 y$ を引きます。

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ と $y^{2}$ をたし算します。

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

ステップ 3

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺から $36$ を引きます。

$16 - 8 y + 2 y^{2} - 36 = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.2

$16$ から $36$ を引きます。

$- 8 y + 2 y^{2} - 20 = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ を $- 8 y + 2 y^{2} - 20$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$2$ を $- 8 y$ で因数分解します。

$2 (- 4 y) + 2 y^{2} - 20 = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.3.1.2

$2$ を $2 y^{2}$ で因数分解します。

$2 (- 4 y) + 2 (y^{2}) - 20 = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.3.1.3

$2$ を $- 20$ で因数分解します。

$2 (- 4 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 10 = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.3.1.4

$2$ を $2 (- 4 y) + 2 y^{2}$ で因数分解します。

$2 (- 4 y + y^{2}) + 2 \cdot - 10 = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.3.1.5

$2$ を $2 (- 4 y + y^{2}) + 2 \cdot - 10$ で因数分解します。

$2 (- 4 y + y^{2} - 10) = 0$

$x = 4 - y$

$2 (- 4 y + y^{2} - 10) = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.3.2

項を並べ替えます。

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$

$x = 4 - y$

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.4

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.4.2.1.2

$y^{2} - 4 y - 10$ を $1$ で割ります。

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

ステップ 3.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.6

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - 10$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 4$ に $- 10$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7.1.3

$16$ と $40$ をたし算します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.7.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.1.2.2

$- 4$ に $- 10$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.1.3

$16$ と $40$ をたし算します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.8.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.1.2.2

$- 4$ に $- 10$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.1.3

$16$ と $40$ をたし算します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.9.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

ステップ 3.10

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

ステップ 4

各方程式の $y$ のすべての発生を $2 + \sqrt{14}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 4 - y$ の $y$ のすべての発生を $2 + \sqrt{14}$ で置き換えます。

$x = 4 - (2 + \sqrt{14})$

$y = 2 + \sqrt{14}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4 - (2 + \sqrt{14})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x = 4 - 1 \cdot 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

ステップ 4.2.1.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = 4 - 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

ステップ 4.2.1.2

$4$ から $2$ を引きます。

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

ステップ 5

各方程式の $y$ のすべての発生を $2 - \sqrt{14}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x = 4 - y$ の $y$ のすべての発生を $2 - \sqrt{14}$ で置き換えます。

$x = 4 - (2 - \sqrt{14})$

$y = 2 - \sqrt{14}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4 - (2 - \sqrt{14})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x = 4 - 1 \cdot 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

ステップ 5.2.1.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

ステップ 5.2.1.1.3

$- - \sqrt{14}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = 4 - 2 + 1 \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

ステップ 5.2.1.1.3.2

$\sqrt{14}$ に $1$ をかけます。

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

ステップ 5.2.1.2

$4$ から $2$ を引きます。

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

ステップ 6

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(2 - \sqrt{14}, 2 + \sqrt{14})$

$(2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14})$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

点の形：

$(2 - \sqrt{14}, 2 + \sqrt{14}), (2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14})$

方程式の形：

$x = 2 - \sqrt{14}, y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}, y = 2 - \sqrt{14}$

ステップ 8

有限数学 例

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