有限数学例

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$0$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 0$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

ステップ 4.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

ステップ 4.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

ステップ 4.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 48 (0)$

ステップ 4.1.5

$48$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 4.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$0$ は既知の根なので、多項式を $x + 0$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

ステップ 6.2

被除数 $(4)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

ステップ 6.3

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

ステップ 6.5

結果 $(- 2)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(48)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

ステップ 6.7

結果 $(48)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$4 x^{2} - 2 x + 48$

ステップ 7

$2$ を $4 x^{2} - 2 x + 48$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

ステップ 7.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

ステップ 7.3

$2$ を $48$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

ステップ 7.4

$2$ を $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

ステップ 7.5

$2$ を $2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

ステップ 8

$2 x$ を $4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ で因数分解します。

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ステップ 8.1

$2 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

ステップ 8.2

$2 x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

ステップ 8.3

$2 x$ を $48 x$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

ステップ 8.4

$2 x$ を $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

ステップ 8.5

$2 x$ を $2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

ステップ 10

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 11

$2 x^{2} - x + 24$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$2 x^{2} - x + 24$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $2 x^{2} - x + 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 11.2.2

$a = 2$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 24$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3

簡約します。

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ステップ 11.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.3.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 24$ を掛けます。

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ステップ 11.2.3.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.1.2.2

$- 8$ に $24$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.1.3

$1$ から $192$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.1.4

$- 191$ を $- 1 (191)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

ステップ 11.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 11.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 24$ を掛けます。

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ステップ 11.2.4.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.4.1.2.2

$- 8$ に $24$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.4.1.3

$1$ から $192$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.4.1.4

$- 191$ を $- 1 (191)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

ステップ 11.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

ステップ 11.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 11.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 24$ を掛けます。

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ステップ 11.2.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.5.1.2.2

$- 8$ に $24$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.5.1.3

$1$ から $192$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.5.1.4

$- 191$ を $- 1 (191)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

ステップ 11.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

ステップ 12

最終解は $2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

ステップ 13

有限数学 例

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