有限数学例

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 2.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

ステップ 2.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6$

ステップ 2.1.3.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 4 - 1 + 6$

ステップ 2.1.3.5

$- 1$ から $4$ を引きます。

$- 5 - 1 + 6$

ステップ 2.1.3.6

$- 5$ から $1$ を引きます。

$- 6 + 6$

ステップ 2.1.3.7

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x + 1}$

ステップ 2.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- 5 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 5 x^{2} - 5 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $6 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x + 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 5 x + 6$

ステップ 2.1.6

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

ステップ 2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 3, - 2$

ステップ 2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x - 3) (x - 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 7

最終解は $(x + 1) (x - 3) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 3, 2$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{3} - 4 {(- 4)}^{2} - 4 + 6 < 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 126$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $- 1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 0 + 6 < 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $6$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2.5$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $2.5$ で置き換えます。

${(2.5)}^{3} - 4 {(2.5)}^{2} + 2.5 + 6 < 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 0.875$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{3} - 4 {(6)}^{2} + 6 + 6 < 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $84$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 2$ 偽

$2 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 2$ 偽

$2 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $2 < x < 3$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 1) \cup (2, 3)$

ステップ 12

有限数学 例

有限数学例