有限数学例

$\log_{2} (3 x + 1) - \log_{2} (x + 2) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x})$

ステップ 3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) - \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x}) = - 2$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{\frac{3 x + 1}{x + 2}}{\frac{9 x - 4}{x}}) = - 2$

ステップ 5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x}{9 x - 4}) = - 2$

ステップ 6

$\frac{3 x + 1}{x + 2}$ に $\frac{x}{9 x - 4}$ をかけます。

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

ステップ 7

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)})$ の因数を並べ替えます。

$\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

ステップ 8

対数の定義を利用して $\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{- 2} = \frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}$

ステップ 9

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x (3 x + 1) = 2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$

ステップ 10

$2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{2^{2}} ((x + 2) (9 x - 4))$

ステップ 10.2

$2$ を $2$ 乗します。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} ((x + 2) (9 x - 4))$

ステップ 10.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (9 x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

分配則を当てはめます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x - 4) + 2 (9 x - 4))$

ステップ 10.3.2

分配則を当てはめます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x - 4))$

ステップ 10.3.3

分配則を当てはめます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

ステップ 10.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

ステップ 10.4.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.2.1

$x$ を移動させます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

ステップ 10.4.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

ステップ 10.4.1.3

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 \cdot x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

ステップ 10.4.1.4

$9$ に $2$ をかけます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x + 2 \cdot - 4)$

ステップ 10.4.1.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x - 8)$

ステップ 10.4.2

$- 4 x$ と $18 x$ をたし算します。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + 14 x - 8)$

ステップ 10.5

分配則を当てはめます。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2}) + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1

$\frac{1}{4} (9 x^{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1.1

$9$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x (3 x + 1) = \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6.1.2

$\frac{9}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6.2.2

$2$ を $14 x$ で因数分解します。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6.2.3

共通因数を約分します。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6.2.4

式を書き換えます。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (7 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6.3

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6.4

$\frac{7}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 10.6.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.5.1

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

ステップ 10.6.5.2

共通因数を約分します。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

ステップ 10.6.5.3

式を書き換えます。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} - 2$

ステップ 11

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

方程式の両辺から $\frac{9 x^{2}}{4}$ を引きます。

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} = \frac{7 x}{2} - 2$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $\frac{7 x}{2}$ を引きます。

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

分配則を当てはめます。

$x (3 x) + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$3 x \cdot x + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.3.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.4.1

$x$ を移動させます。

$3 (x \cdot x) + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.3.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.4

$3 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x + 3 x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.5

$3 x^{2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.6

公分母の分子をまとめます。

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.7

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1

$x$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{x}{1} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.7.2

$\frac{x}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{x}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.7.3

$\frac{x}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

ステップ 11.7.4

$\frac{7 x}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - (\frac{7 x}{2} \cdot \frac{2}{2}) = - 2$

ステップ 11.7.5

$\frac{7 x}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{2 \cdot 2} = - 2$

ステップ 11.7.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{4} = - 2$

ステップ 11.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x \cdot 4 + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

ステップ 11.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.9.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot x + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

ステップ 11.9.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

ステップ 11.9.3

$2$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 14 x}{4} = - 2$

ステップ 11.10

$4 x$ から $14 x$ を引きます。

$\frac{12 x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

ステップ 11.11

$12 x^{2}$ から $9 x^{2}$ を引きます。

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

ステップ 11.12

$x$ を $3 x^{2} - 10 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.12.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x) - 10 x}{4} = - 2$

ステップ 11.12.2

$x$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 10}{4} = - 2$

ステップ 11.12.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot - 10$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x - 10)}{4} = - 2$

ステップ 12

両辺に $4$ を掛けます。

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

ステップ 13.1.1.1.1.2

式を書き換えます。

$x (3 x - 10) = - 2 \cdot 4$

ステップ 13.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x (3 x) + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

ステップ 13.1.1.1.3

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x \cdot x + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

ステップ 13.1.1.1.3.2

$- 10$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x \cdot x - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

ステップ 13.1.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.2.1

$x$ を移動させます。

$3 (x \cdot x) - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

ステップ 13.1.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

$3 x^{2} - 10 x = - 2 \cdot 4$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$3 x^{2} - 10 x = - 8$

ステップ 14

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

ステップ 14.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

$- 10$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

ステップ 14.2.1.2

$- 10$ を $- 4$ プラス $- 6$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8 = 0$

ステップ 14.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8 = 0$

ステップ 14.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8 = 0$

ステップ 14.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4) = 0$

ステップ 14.2.3

最大公約数 $3 x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 4) (x - 2) = 0$

ステップ 14.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 14.4

$3 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$3 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 4 = 0$

ステップ 14.4.2

$x$ について $3 x - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 x = 4$

ステップ 14.4.2.2

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.2.1

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 14.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 14.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 14.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 14.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 14.6

最終解は $(3 x - 4) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{4}{3}, 2$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{4}{3}, 2$

10進法形式：

$x = 1.\overline{3}, 2$

帯分数形：

$x = 1 \frac{1}{3}, 2$

有限数学 例

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