有限数学例

$\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x} = 81^{x^{2} - 2}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 2

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x})$ を $\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x})$ に書き換えます。

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 3

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}})$ を $\ln (1) - \ln (27^{2 x})$ に書き換えます。

$\ln (1) - \ln (27^{2 x}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 4

$2 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (27^{2 x})$ を展開します。

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 5

$- 2 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{- 2 x})$ を展開します。

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 6

$1$ の自然対数は $0$ です。

$0 - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 7

$0$ から $2 x \ln (27)$ を引きます。

$- (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 9

括弧を削除します。

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

ステップ 10

$x^{2} - 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (81^{x^{2} - 2})$ を展開します。

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = (x^{2} - 2) \ln (81)$

ステップ 11

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

ステップ 11.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (27)$ を簡約します。

$x (- \ln (27^{2})) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

ステップ 11.2.1.1.2

$27$ を $2$ 乗します。

$x (- \ln (729)) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

ステップ 11.2.1.1.3

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (3)$ を簡約します。

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (3^{2})) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

ステップ 11.2.1.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9)) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

ステップ 11.2.1.2

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9))$ の因数を並べ替えます。

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

ステップ 11.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (81)$ を簡約します。

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (81^{2})$

ステップ 11.3.1.2

$81$ を $2$ 乗します。

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (6561)$

ステップ 11.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- x \ln (729) - x \ln (9) - x^{2} \ln (81) + \ln (6561) = 0$

ステップ 11.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 11.6

$a = - \ln (81)$ 、 $b = - \ln (729) - \ln (9)$ 、および $c = \ln (6561)$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- (- \ln (729) - \ln (9)) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- \ln (81) \cdot \ln (6561))}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.2

$- - \ln (729)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{1 \ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.2.2

$\ln (729)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.3

$- - \ln (9)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + 1 \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.3.2

$\ln (9)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.4

${(- \ln (729) - \ln (9))}^{2}$ を $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ に書き換えます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.5.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729) - \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.5.2

分配則を当てはめます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.5.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.2

指数を足して $\ln (729)$ に $\ln (729)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.6.1.2.1

$\ln (729)$ を移動させます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (\ln (729) \ln (729))) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.2.2

$\ln (729)$ に $\ln (729)$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.4

$\ln^{2} (729)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 1 \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.7

$\ln (729)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + 1 \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.10

$\ln (9)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.12

指数を足して $\ln (9)$ に $\ln (9)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.6.1.12.1

$\ln (9)$ を移動させます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 (\ln (9) \ln (9))) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.12.2

$\ln (9)$ に $\ln (9)$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + 1 \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.1.14

$\ln^{2} (9)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.2

$\ln (729) \ln (9)$ と $\ln (9) \ln (729)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1.6.2.1

$\ln (729)$ と $\ln (9)$ を並べ替えます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.6.2.2

$\ln (9) \ln (729)$ と $\ln (9) \ln (729)$ をたし算します。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.1.7

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

ステップ 11.7.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{- 2 \ln (81)}$

ステップ 11.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

ステップ 11.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) + \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}, - \frac{\ln (729) + \ln (9) - \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

10進法形式：

$x = - 2.73205080 \dots, 0.73205080 \dots$

有限数学 例

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