有限数学例

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

ステップ 1

各項を因数分解します。

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ステップ 1.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}}$ を約分します。

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ステップ 1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

ステップ 1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{r^{6}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

ステップ 1.2

$r^{6}$ と $r^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$r^{3}$ を $r^{6}$ で因数分解します。

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

ステップ 1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{r^{3}}{1} = \frac{729}{- 27}$

ステップ 1.2.2.4

$r^{3}$ を $1$ で割ります。

$r^{3} = \frac{729}{- 27}$

ステップ 1.3

$729$ を $- 27$ で割ります。

$r^{3} = - 27$

ステップ 2

方程式を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $27$ を足します。

$r^{3} + 27 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$r^{3} + 3^{3} = 0$

ステップ 2.2.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = 3$ です。

$(r + 3) (r^{2} - r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r + 3 = 0$

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

ステップ 2.4

$r + 3$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$r + 3$ が $0$ に等しいとします。

$r + 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$r = - 3$

ステップ 2.5

$r^{2} - 3 r + 9$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$r^{2} - 3 r + 9$ が $0$ に等しいとします。

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

ステップ 2.5.2

$r$ について $r^{2} - 3 r + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 3$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.3.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

変数 $a$ は約分されました。

すべての実数

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

すべての実数

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

有限数学 例

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