有限数学例

$(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 0)$

ステップ 1

点を含む指数関数 $f (x) = a^{x}$ を求めるために、関数の $f (x)$ を点の $y$ 値 $0$ とし、 $x$ を点の $x$ 値 $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ とします。

$0 = a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$

ステップ 2

$a$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$ として書き換えます。

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺を $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3

指数を簡約します。

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ステップ 2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ に $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ をかけます。

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.2

$\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ に $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ をかけます。

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.3

FOIL法を使って分母を展開します。

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.4

簡約します。

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.5

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.5.1

$2$ を $20$ で因数分解します。

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.5.2

共通因数を約分します。

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.5.3

式を書き換えます。

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.1.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.2

$\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.1.6.2.1

$\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ に $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ をかけます。

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.2.2

$2$ に $10$ をかけます。

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.6.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ を展開します。

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ステップ 2.3.1.1.6.3.1.1

分配則を当てはめます。

$a^{\frac{5 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.1.2

分配則を当てはめます。

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.1.3

分配則を当てはめます。

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$a^{\frac{25 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.3

$5$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.4

$\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.4.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.4.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.5

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.2

式を書き換えます。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.5.5

指数を求めます。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.1.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.2

$25$ から $5$ を引きます。

$a^{\frac{20 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.3

$- 5 \sqrt{5}$ と $5 \sqrt{5}$ をたし算します。

$a^{\frac{20 + 0}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.3.2.4

$20$ と $0$ をたし算します。

$a^{\frac{20}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.6.4

$20$ を $20$ で割ります。

$a^{1} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.1.1.7

簡約します。

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ に $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ をかけます。

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}}$

ステップ 2.3.2.1.2

$\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ に $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ をかけます。

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}}$

ステップ 2.3.2.1.3

FOIL法を使って分母を展開します。

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}}$

ステップ 2.3.2.1.4

簡約します。

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}}$

ステップ 2.3.2.1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.1

$2$ を $20$ で因数分解します。

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

ステップ 2.3.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

ステップ 2.3.2.1.5.3

式を書き換えます。

$a = 0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

ステップ 3

各値を $a$ に代入し、関数 $f (x) = a^{x}$ に戻し、それぞれの可能な指数関数を求めます。

$f (x) = {(0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}})}^{x}$

有限数学 例

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