有限数学例

$6 - | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 3$

ステップ 1

$| 2 x^{2} - 8 x - 1 |$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 3 - 6$

ステップ 1.2

$- 3$ から $6$ を引きます。

$- | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 9$

ステップ 2

$- | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- | 2 x^{2} - 8 x - 1 |}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{| 2 x^{2} - 8 x - 1 |}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.2.2

$| 2 x^{2} - 8 x - 1 |$ を $1$ で割ります。

$| 2 x^{2} - 8 x - 1 | = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$| 2 x^{2} - 8 x - 1 | = 9$

ステップ 3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$2 x^{2} - 8 x - 1 = \pm 9$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$2 x^{2} - 8 x - 1 = 9$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$2 x^{2} - 8 x - 1 - 9 = 0$

ステップ 4.3

$- 1$ から $9$ を引きます。

$2 x^{2} - 8 x - 10 = 0$

ステップ 4.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$2$ を $2 x^{2} - 8 x - 10$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) - 8 x - 10 = 0$

ステップ 4.4.1.2

$2$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) - 10 = 0$

ステップ 4.4.1.3

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 5 = 0$

ステップ 4.4.1.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ で因数分解します。

$2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 5 = 0$

ステップ 4.4.1.5

$2$ を $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 5$ で因数分解します。

$2 (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

ステップ 4.4.2

因数分解。

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ステップ 4.4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 4.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $- 4$ です。

$- 5, 1$

ステップ 4.4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 ((x - 5) (x + 1)) = 0$

ステップ 4.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x - 5) (x + 1) = 0$

ステップ 4.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4.6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 4.7

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.7.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.8

最終解は $2 (x - 5) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 1$

ステップ 4.9

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$2 x^{2} - 8 x - 1 = - 9$

ステップ 4.10

方程式の両辺に $9$ を足します。

$2 x^{2} - 8 x - 1 + 9 = 0$

ステップ 4.11

$- 1$ と $9$ をたし算します。

$2 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

ステップ 4.12

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.12.1

$2$ を $2 x^{2} - 8 x + 8$ で因数分解します。

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ステップ 4.12.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) - 8 x + 8 = 0$

ステップ 4.12.1.2

$2$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8 = 0$

ステップ 4.12.1.3

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 4.12.1.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ で因数分解します。

$2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 4.12.1.5

$2$ を $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ で因数分解します。

$2 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

ステップ 4.12.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.12.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 4.12.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 4.12.2.3

多項式を書き換えます。

$2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 4.12.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$2 {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.13

$2 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.13.1

$2 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.13.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.13.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.13.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.13.2.1.2

${(x - 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.13.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.13.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.14

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.15

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.16

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5, - 1, 2$

有限数学 例

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