有限数学例

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

ステップ 1

方程式を ${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ として書き換えます。

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 3

左辺を展開します。

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ステップ 3.1

$y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ を展開します。

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 3.2

$\ln (\frac{1}{x})$ を $\ln (1) - \ln (x)$ に書き換えます。

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 3.4

$0$ から $\ln (x)$ を引きます。

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 4

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$(y - 1) (- \ln (x))$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 4.1.3

$- 1 (- \ln (x))$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 4.1.3.2

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

ステップ 6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

ステップ 7.2

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

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ステップ 7.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

ステップ 7.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

ステップ 7.2.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

ステップ 8

方程式の両辺から $\ln (x^{5})$ を引きます。

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

ステップ 9

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ の各項を $- \ln (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ の各項を $- \ln (x)$ で割ります。

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

ステップ 9.2.2

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

ステップ 9.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$

有限数学 例

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