有限数学例

$(\frac{3}{4} r - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

ステップ 1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{3}{4}$ と $r$ をまとめます。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

ステップ 1.1.2

$s$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{s \cdot 2}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

ステップ 1.1.3

$2$ を $s$ の左に移動させます。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{5}{4}$ と $r$ をまとめます。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{1}{3} s)$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{3}$ と $s$ をまとめます。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 r}{4} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3}) - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\frac{3 r}{4}$ に $\frac{5 r}{4}$ をかけます。

$\frac{3 r (5 r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.1.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 r \cdot r}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.1.3

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{15 (r^{1} r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.1.4

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{15 (r^{1} r^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 r^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{15 r^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.1.7

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$3$ を $3 r$ で因数分解します。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 (r)}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r}{4} s - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.3

$\frac{r}{4}$ と $s$ をまとめます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$- \frac{2 s}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.4.2

$2$ を $- 2 s$ で因数分解します。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.4.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 (2)} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.4.5

式を書き換えます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s}{3} \cdot \frac{5 r}{2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.5

$\frac{- s}{3}$ に $\frac{5 r}{2}$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s (5 r)}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.7

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

ステップ 3.1.9

$- \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.9.1

$\frac{s}{3}$ に $\frac{2 s}{3}$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{s (2 s)}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.1.9.2

$s$ を $1$ 乗します。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s)}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.1.9.3

$s$ を $1$ 乗します。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s^{1})}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.1.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.1.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.1.9.6

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.2

$\frac{r s}{4}$ から $\frac{5 s r}{6}$ を引きます。

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ステップ 3.2.1

$s$ を移動させます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.2.2

$\frac{r s}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.2.3

$- \frac{5 r s}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{r s}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.2.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{5 r s}{6}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.2.4.4

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.3

$\frac{15 r^{2}}{16}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.4

$\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $48$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.5.1

$\frac{15 r^{2}}{16}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.5.2

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.5.3

$\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{12 \cdot 4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.5.4

$12$ に $4$ をかけます。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3 + (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.7

項を並べ替えます。

$\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.8

公分母を利用して $\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48}$ と $- \frac{2 s^{2}}{9}$ を組み合わせます。

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ステップ 3.8.1

$3 \cdot 15 r^{2}$ と $4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s)$ を並べ替えます。

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.8.2

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9}$

ステップ 3.8.3

$- \frac{2 s^{2}}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 3.8.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $144$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.8.4.1

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{48 \cdot 3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 3.8.4.2

$48$ に $3$ をかけます。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 3.8.4.3

$\frac{2 s^{2}}{9}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{9 \cdot 16}$

ステップ 3.8.4.4

$9$ に $16$ をかけます。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 3.8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 5$ に $2$ をかけます。

$\frac{(4 (3 r s - 10 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 4.1.2

$3 r s$ から $10 r s$ を引きます。

$\frac{(4 (- 7 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 4.1.3

$- 7$ に $4$ をかけます。

$\frac{(- 28 (r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 4.1.4

$3$ に $15$ をかけます。

$\frac{(- 28 r s + 45 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 28 r s \cdot 3 + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 4.3

$3$ に $- 28$ をかけます。

$\frac{- 84 r s + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 4.4

$3$ に $45$ をかけます。

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

ステップ 4.5

$16$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 32 s^{2}}{144}$

ステップ 4.6

群による因数分解。

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ステップ 4.6.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 135 \cdot - 32 = - 4320$ で和が $b = - 84$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.6.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{135 r^{2} - 32 s^{2} - 84 r s}{144}$

ステップ 4.6.1.2

$- 32 s^{2}$ と $- 84 r s$ を並べ替えます。

$\frac{135 r^{2} - 84 r s - 32 s^{2}}{144}$

ステップ 4.6.1.3

$- 84$ を $- 84 r s$ で因数分解します。

$\frac{135 r^{2} - 84 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

ステップ 4.6.1.4

$- 84$ を $36$ プラス $- 120$ に書き換える

$\frac{135 r^{2} + (36 - 120) (r s) - 32 s^{2}}{144}$

ステップ 4.6.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{135 r^{2} + 36 (r s) - 120 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

ステップ 4.6.1.6

括弧を移動させます。

$\frac{135 r^{2} + 36 r s - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

ステップ 4.6.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.6.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(135 r^{2} + 36 r s) - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

ステップ 4.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{9 r (15 r + 4 s) - 8 s (15 r + 4 s)}{144}$

ステップ 4.6.3

最大公約数 $15 r + 4 s$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(15 r + 4 s) (9 r - 8 s)}{144}$

有限数学 例

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