有限数学例

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$e^{4 t}$ を ${(e^{2 t})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.1.2

$e^{2 t}$ を ${(e^{t})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.1.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

ステップ 1.1.4

多項式を書き換えます。

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.1.5

$a = e^{2 t}$ と $b = e^{t}$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.2

$e^{2 t}$ を ${(e^{t})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.3

$u = e^{t}$ とします。 $u$ を $e^{t}$ に代入します。

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.4

$u$ を $u^{2} + u$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.4.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.4.3

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.4.4

$u$ を $u \cdot u + u \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.5

$u$ のすべての発生を $e^{t}$ で置き換えます。

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.6

積の法則を $e^{t} (e^{t} + 1)$ に当てはめます。

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.7

${(e^{t})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 1.7.2

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.1

$e^{2 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

ステップ 2.1.2

${(e^{t} + 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(e^{t} + 1)}^{2}$

ステップ 2.2

${(e^{t} + 1)}^{2}$ を $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ に書き換えます。

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

指数を足して $e^{t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.1.2

$t$ と $t$ をたし算します。

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.2

$e^{t}$ に $1$ をかけます。

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3

$e^{t}$ に $1$ をかけます。

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

ステップ 4.2

$e^{t}$ と $e^{t}$ をたし算します。

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$

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