有限数学例

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

ステップ 1

根号が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

ステップ 2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

ステップ 3

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10 - x^{2}}$ を ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(x + 2)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

ステップ 3.3.1.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

ステップ 4.2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

不等式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

ステップ 4.2.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

ステップ 4.3

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

ステップ 4.4

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

ステップ 4.5

$4$ から $10$ を引きます。

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

ステップ 4.6

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.6.1

$2$ を $2 x^{2} + 4 x - 6$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

ステップ 4.6.1.2

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

ステップ 4.6.1.3

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.6.1.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (2 x)$ で因数分解します。

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.6.1.5

$2$ を $2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ で因数分解します。

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

ステップ 4.6.2

因数分解。

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ステップ 4.6.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 4.6.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 4.6.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

ステップ 4.6.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

ステップ 4.7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 4.8

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4.9

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.9.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 4.9.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 4.10

最終解は $2 (x - 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 3$

ステップ 5

$x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.1

$\sqrt{10 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$10 - x^{2} \geq 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

不等式の両辺から $10$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 10$

ステップ 5.2.2

$- x^{2} \geq - 10$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- x^{2} \geq - 10$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

$- 10$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 10$

ステップ 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

ステップ 5.2.4

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{10}$

ステップ 5.2.5

$| x | \leq \sqrt{10}$ を区分で書きます。

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ステップ 5.2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 5.2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq \sqrt{10}$

ステップ 5.2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 5.2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq \sqrt{10}$

ステップ 5.2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 5.2.6

$x \leq \sqrt{10}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

ステップ 5.2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq \sqrt{10}$ を解きます。

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ステップ 5.2.7.1

$- x \leq \sqrt{10}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.7.1.1

$- x \leq \sqrt{10}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

ステップ 5.2.7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

ステップ 5.2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

ステップ 5.2.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.7.1.3.1

$\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

ステップ 5.2.7.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{10}$ を $- \sqrt{10}$ に書き換えます。

$x \geq - \sqrt{10}$

ステップ 5.2.7.2

$x \geq - \sqrt{10}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

ステップ 5.2.8

解の和集合を求めます。

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

ステップ 5.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - \sqrt{10}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - \sqrt{10}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

ステップ 7.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.2

区間 $- \sqrt{10} < x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- \sqrt{10} < x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3.08$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3.08$ で置き換えます。

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

ステップ 7.2.3

左辺 $- 1.08$ は右辺 $0.71665891$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.3

区間 $- 3 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $- 3 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

ステップ 7.3.3

左辺 $2$ は右辺 $3.16227766$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.4

区間 $1 < x < \sqrt{10}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1

区間 $1 < x < \sqrt{10}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 7.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

ステップ 7.4.3

左辺 $4$ は右辺 $2.44948974$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.5

区間 $x > \sqrt{10}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.5.1

区間 $x > \sqrt{10}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 7.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

ステップ 7.5.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \sqrt{10}$ 偽

$- \sqrt{10} < x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 1$ 偽

$1 < x < \sqrt{10}$ 真

$x > \sqrt{10}$ 偽

$x < - \sqrt{10}$ 偽

$- \sqrt{10} < x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 1$ 偽

$1 < x < \sqrt{10}$ 真

$x > \sqrt{10}$ 偽

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$1 < x < \sqrt{10}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$1 < x < \sqrt{10}$

区間記号：

$(1, \sqrt{10})$

ステップ 10

有限数学 例

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