有限数学例

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$

ステップ 1

$\frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$8 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$2$ を $8 x^{2} - 2 x + 8$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$2$ を $8 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (4 x^{2}) - 2 x + 8 = 0$

ステップ 2.1.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 8 = 0$

ステップ 2.1.3

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (4) = 0$

ステップ 2.1.4

$2$ を $2 (4 x^{2}) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$2 (4 x^{2} - x) + 2 (4) = 0$

ステップ 2.1.5

$2$ を $2 (4 x^{2} - x) + 2 (4)$ で因数分解します。

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$

ステップ 2.2

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$4 x^{2} - x + 4$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} - x + 4 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$4 x^{2} - x + 4 = 0$

ステップ 2.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4

$a = 4$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 4)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 16$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.3

$1$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.4

$- 63$ を $- 1 (63)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.7

$63$ を $3^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.1.7.1

$9$ を $63$ で因数分解します。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 16$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.3

$1$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.4

$- 63$ を $- 1 (63)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.7

$63$ を $3^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 2.6.1.7.1

$9$ を $63$ で因数分解します。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

ステップ 2.6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}$

ステップ 2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.2.2

$- 16$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.3

$1$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.4

$- 63$ を $- 1 (63)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.7

$63$ を $3^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.7.1

$9$ を $63$ で因数分解します。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.7.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

ステップ 2.7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

ステップ 2.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

ステップ 3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}]$

集合の内包的記法：

${y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

値域： $[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}], {y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例