有限数学例

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 0 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 0 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

ステップ 1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 5 + 4 \cdot 1 & 2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 \\ 0 \cdot 5 + 3 \cdot 1 & 0 \cdot 5 + 3 \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 14 & 22 \\ 3 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 2

$[\begin{array}{c} 14 & 22 \\ 3 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 2.1

ステップ 2.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} 14 \cdot 1 + 22 \cdot 2 & 14 \cdot 1 + 22 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 + 9 \cdot 2 & 3 \cdot 1 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 2.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 58 & 14 \\ 21 & 3 \end{array}]$

ステップ 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 4

Find the determinant.

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$58 \cdot 3 - 21 \cdot 14$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$58$ に $3$ をかけます。

$174 - 21 \cdot 14$

ステップ 4.2.1.2

$- 21$ に $14$ をかけます。

$174 - 294$

ステップ 4.2.2

$174$ から $294$ を引きます。

$- 120$

ステップ 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 120} [\begin{array}{c} 3 & - 14 \\ - 21 & 58 \end{array}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{120} [\begin{array}{c} 3 & - 14 \\ - 21 & 58 \end{array}]$

ステップ 8

$- \frac{1}{120}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{120} \cdot 3 & - \frac{1}{120} \cdot - 14 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 9.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

$- \frac{1}{120}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{120} \cdot 3 & - \frac{1}{120} \cdot - 14 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.1.2

$3$ を $120$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (40)} \cdot 3 & - \frac{1}{120} \cdot - 14 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.1.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 40} \cdot 3 & - \frac{1}{120} \cdot - 14 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.1.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{40} & - \frac{1}{120} \cdot - 14 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.2

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & - \frac{1}{120} \cdot - 14 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$- \frac{1}{120}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{- 1}{120} \cdot - 14 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.3.2

$2$ を $120$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{- 1}{2 (60)} \cdot - 14 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.3.3

$2$ を $- 14$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{- 1}{2 \cdot 60} \cdot (2 \cdot - 7) \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.3.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{- 1}{2 \cdot 60} \cdot (2 \cdot - 7) \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.3.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{- 1}{60} \cdot - 7 \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.4

$\frac{- 1}{60}$ と $- 7$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{- - 7}{60} \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.5

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ - \frac{1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.6.1

$- \frac{1}{120}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{- 1}{120} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.6.2

$3$ を $120$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{- 1}{3 (40)} \cdot - 21 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.6.3

$3$ を $- 21$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 40} \cdot (3 \cdot - 7) & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.6.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 40} \cdot (3 \cdot - 7) & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.6.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{- 1}{40} \cdot - 7 & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.7

$\frac{- 1}{40}$ と $- 7$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{- - 7}{40} & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.8

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & - \frac{1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.9

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.9.1

$- \frac{1}{120}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & \frac{- 1}{120} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.9.2

$2$ を $120$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & \frac{- 1}{2 (60)} \cdot 58 \end{array}]$

ステップ 9.9.3

$2$ を $58$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & \frac{- 1}{2 \cdot 60} \cdot (2 \cdot 29) \end{array}]$

ステップ 9.9.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & \frac{- 1}{2 \cdot 60} \cdot (2 \cdot 29) \end{array}]$

ステップ 9.9.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & \frac{- 1}{60} \cdot 29 \end{array}]$

ステップ 9.10

$\frac{- 1}{60}$ と $29$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & \frac{- 1 \cdot 29}{60} \end{array}]$

ステップ 9.11

$- 1$ に $29$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & \frac{- 29}{60} \end{array}]$

ステップ 9.12

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{40} & \frac{7}{60} \\ \frac{7}{40} & - \frac{29}{60} \end{array}]$

有限数学 例

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