有限数学例

$[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & 4 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

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ステップ 4.3.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

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ステップ 5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (x - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - λ) (2 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = x (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$p (λ) = 2 \cdot x + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 2 x - x λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.2.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.2.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 12$

ステップ 5.2.2

$- 2 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 2 x - x λ + λ^{2} - 2 λ - 12$

ステップ 5.2.3

$2 x$ を移動させます。

$p (λ) = - x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

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ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 1$ 、 $b = - x - 2$ 、および $c = 2 x - 12$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{- (- x - 2) \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

分配則を当てはめます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$λ = \frac{1 x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4

${(- x - 2)}^{2}$ を $(- x - 2) (- x - 2)$ に書き換えます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{(- x - 2) (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 2) (- x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.5.1

分配則を当てはめます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x - 2) - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5.2

分配則を当てはめます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5.3

分配則を当てはめます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.6.1.2.1

$x$ を移動させます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6.1.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6.1.7

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.7

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.8

分配則を当てはめます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.9

$2$ に $- 4$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.10

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x + 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.11

$4 x$ から $8 x$ を引きます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.12

$4$ と $48$ をたし算します。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

ステップ 7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

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