微分積分例

$\int_{1}^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{2} x^{- 2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - (4 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} d x)$

ステップ 7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 7.2

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 7.3

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 3} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{2})$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{2})$

ステップ 9.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{2})$

ステップ 9.2

代入し簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$(- 2^{- 1}) + 1^{- 1} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{2})$

ステップ 9.2.2

$2$ および $1$ で $- \frac{1}{2 x^{2}}$ の値を求めます。

$(- 2^{- 1}) + 1^{- 1} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 9.2.3

簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} + 1^{- 1} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 9.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2} + 1 - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 9.2.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 9.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 2}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 9.2.3.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 9.2.3.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 9.2.3.7

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 9.2.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

ステップ 9.2.3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

ステップ 9.2.3.10

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

ステップ 9.2.3.11

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

ステップ 9.2.3.11.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

ステップ 9.2.3.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} - 4 \frac{- 1 + 4}{8}$

ステップ 9.2.3.13

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2} - 4 (\frac{3}{8})$

ステップ 9.2.3.14

$- 4$ と $\frac{3}{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

ステップ 9.2.3.15

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{- 12}{8}$

ステップ 9.2.3.16

$- 12$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.16.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} + \frac{4 (- 3)}{8}$

ステップ 9.2.3.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.16.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

ステップ 9.2.3.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

ステップ 9.2.3.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 9.2.3.17

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 9.2.3.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 3}{2}$

ステップ 9.2.3.19

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 2}{2}$

ステップ 9.2.3.20

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.20.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

ステップ 9.2.3.20.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.20.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ステップ 9.2.3.20.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.2.3.20.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 9.2.3.20.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 10

微分積分 例

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