微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 - 6 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$10$ と $- 6 x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - 6 x^{2} + 10}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

ステップ 1.1.2.2

首位係数が負である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

ステップ 1.1.3.2

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 1.1.3.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.1.3.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{- \infty}{5 + \infty}$

ステップ 1.1.3.3

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $10 - 6 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.3

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.4.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $12 x$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $5 + 3 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 1.3.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 e^{x}}$

ステップ 1.3.9

$0$ と $3 e^{x}$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{3 e^{x}}$

ステップ 1.4

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$3$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$3$ を $3 e^{x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 (e^{x})}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{e^{x}}$

ステップ 2

$- 4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$- 4 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 3.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$- 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 3.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{x}}$ は $0$ に近づきます。

$- 4 \cdot 0$

ステップ 5

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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