微分積分例

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} [(- \sec (x)) - (- 2)] d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (- \sec (x)) - (- 2) d x$

ステップ 2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) + 2 d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

ステップ 5

$\sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

代入し簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\frac{π}{3}$ および $- \frac{π}{3}$ で $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ の値を求めます。

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 7.1.2

$\frac{π}{3}$ および $- \frac{π}{3}$ で $2 x$ の値を求めます。

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + (2 \frac{π}{3}) - 2 (- \frac{π}{3})$

ステップ 7.1.3

簡約します。

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ステップ 7.1.3.1

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} - 2 (- \frac{π}{3})$

ステップ 7.1.3.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + 2 \frac{π}{3}$

ステップ 7.1.3.3

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π + 2 π}{3}$

ステップ 7.1.3.5

$2 π$ と $2 π$ をたし算します。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$- (\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$- (\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.2.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$2 + \sqrt{3}$ は約 $3.7320508$ 。正の数なので絶対値を削除します

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{5 π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.2.3

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.2.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (\frac{5 π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \tan (\frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.2.6

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \sqrt{3} |}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.2.7

$2 - \sqrt{3}$ は約 $0.26794919$ 。正の数なので絶対値を削除します

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.3

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.4

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3 + 4 π}{3}$

ステップ 7.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

10進法形式：

$1.55487441 \dots$

微分積分 例

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