微分積分例

$f (x) = x \sqrt{x^{2}} + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x \sqrt{x^{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [x^{1} x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{1}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [x^{1 + 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.3.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2$ です。

$2$

微分積分 例

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