微分積分例

$\arcsin (x) = \ln (y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

ステップ 2

$x$ に関する $\arcsin (x)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} y'$

ステップ 3.3

$\frac{1}{y}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{y}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{y'}{y}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式を $\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ として書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 5.2

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

ステップ 5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y' = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} y$

ステップ 5.3.2.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

ステップ 5.3.2.1.2

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

ステップ 5.3.2.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} y$

ステップ 5.3.2.1.3.6.5

簡約します。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} y$

ステップ 5.3.2.1.4

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ と $y$ をまとめます。

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

微分積分 例

微分積分例