微分積分例

$y = {\cos (x)}^{x}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln ({\cos (x)}^{x})$

ステップ 2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\cos (x)}^{x})$ を展開します。

$\ln (y) = x \ln (\cos (x))$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$x \ln (\cos (x))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (\cos (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.6

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.6.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \cdot 1$

ステップ 3.2.6.2

$\ln (\cos (x))$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2.7

簡約します。

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ステップ 3.2.7.1

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = - x \sec (x) \sin (x) + \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2.7.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.7.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = - x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2.7.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2.7.2.3

$\sin (x)$ と $\frac{x}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2.7.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.7.3.1

分数を分解します。

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2.7.3.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \tan (x)) + \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2.7.3.3

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{y'}{y} = - x \tan (x) + \ln (\cos (x))$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (- x \tan (x) + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$y' = (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.1.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $x$ をまとめます。

$y' = (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} {\cos (x)}^{x} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.3

${\cos (x)}^{x}$ と $\frac{\sin (x) x}{\cos (x)}$ をまとめます。

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.4

${\cos (x)}^{x}$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$1$ を掛けます。

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)}{1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.4.2.4

${\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)$ を $1$ で割ります。

$y' = - ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)) + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

$y' = - {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

ステップ 5.5

$- {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$ の因数を並べ替えます。

$y' = - x {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) + {\cos (x)}^{x} \ln (\cos (x))$

微分積分 例

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