微分積分例

$2 y^{2} - x^{2} + x^{3} y = 2$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{2} + x^{3} y) = \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 y^{2} - x^{2} + x^{3} y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 y y' - 2 x + \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 y y' - 2 x + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 y y' - 2 x + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y y' - 2 x + x^{3} y' + y (3 x^{2})$

ステップ 2.4.4

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$4 y y' - 2 x + x^{3} y' + 3 y x^{2}$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$4 y y' + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x$

ステップ 3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 y y' + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2} y$ を引きます。

$4 y y' + x^{3} y' - 2 x = - 3 x^{2} y$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$4 y y' + x^{3} y' = - 3 x^{2} y + 2 x$

ステップ 5.2

$y'$ を $4 y y' + x^{3} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $4 y y'$ で因数分解します。

$y' (4 y) + x^{3} y' = - 3 x^{2} y + 2 x$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $x^{3} y'$ で因数分解します。

$y' (4 y) + y' (x^{3}) = - 3 x^{2} y + 2 x$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (4 y) + y' (x^{3})$ で因数分解します。

$y' (4 y + x^{3}) = - 3 x^{2} y + 2 x$

ステップ 5.3

$y' (4 y + x^{3}) = - 3 x^{2} y + 2 x$ の各項を $4 y + x^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (4 y + x^{3}) = - 3 x^{2} y + 2 x$ の各項を $4 y + x^{3}$ で割ります。

$\frac{y' (4 y + x^{3})}{4 y + x^{3}} = \frac{- 3 x^{2} y}{4 y + x^{3}} + \frac{2 x}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$4 y + x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (4 y + x^{3})}{4 y + x^{3}} = \frac{- 3 x^{2} y}{4 y + x^{3}} + \frac{2 x}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{4 y + x^{3}} + \frac{2 x}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 3 x^{2} y + 2 x}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3.2

$x$ を $- 3 x^{2} y + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$x$ を $- 3 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 3 x y) + 2 x}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 3 x y) + x \cdot 2}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$x$ を $x (- 3 x y) + x \cdot 2$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 3 x y + 2)}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $- 3 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (3 x y) + 2)}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3.4

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (- (3 x y) - 1 (- 2))}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3.5

$- 1$ を $- (3 x y) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (3 x y - 2))}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3.6

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.6.1

$- (3 x y - 2)$ を $- 1 (3 x y - 2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (- 1 (3 x y - 2))}{4 y + x^{3}}$

ステップ 5.3.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x (3 x y - 2)}{4 y + x^{3}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x y - 2)}{4 y + x^{3}}$

微分積分 例

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