微分積分例

$y = x^{\ln (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\ln (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{\ln (x)}$ を $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

ステップ 3.1.2

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\ln (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

ステップ 3.2

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

ステップ 3.3

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

ステップ 3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

ステップ 3.6

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln^{2} (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

ステップ 3.6.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

ステップ 3.6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln^{2} (x)$ で置き換えます。

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

ステップ 3.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x)$ とします。

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 3.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 3.8

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

ステップ 3.9

分数をまとめます。

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ステップ 3.9.1

$\frac{1}{x}$ と $2$ をまとめます。

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

ステップ 3.9.2

$\frac{2}{x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

ステップ 3.9.3

$e^{\ln^{2} (x)}$ と $\frac{2 \ln (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

ステップ 3.10.2

$2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.10.2.1

$\ln (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

ステップ 3.10.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

ステップ 3.10.3

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

微分積分 例

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