微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{10} + 8 x^{7}}}$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{7}$ を $x^{10} + 8 x^{7}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{7}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} x^{3} + 8 x^{7}}}$

ステップ 1.1.2

$x^{7}$ を $8 x^{7}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} x^{3} + x^{7} \cdot 8}}$

ステップ 1.1.3

$x^{7}$ を $x^{7} x^{3} + x^{7} \cdot 8$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x^{3} + 8)}}$

ステップ 1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x^{3} + 2^{3})}}$

ステップ 1.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

ステップ 1.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}}$

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

ステップ 1.5

$x^{7} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ を ${(x^{3})}^{2} (x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x^{6}$ を因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{6} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

ステップ 1.5.2

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

ステップ 1.5.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}$

ステップ 1.5.4

括弧を付けます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

ステップ 1.5.5

括弧を付けます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} (x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

ステップ 1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}$

ステップ 1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{5}$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

ステップ 3.1.2

$x^{2}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x^{2}$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

ステップ 3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$x^{2}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

ステップ 3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

ステップ 3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

ステップ 3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x^{3}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x \cdot x + x \cdot 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x^{2} + x \cdot 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.3.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x^{2} + 2 \cdot x) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

ステップ 4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} + 2 x) (x^{2} - 2 x + 4)$ を展開します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 4 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 4 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1.1

$x^{2} (- 2 x)$ と $2 x \cdot x^{2}$ について因数を並べ替えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 2 x^{2} x + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.1.2

$- 2 x^{2} x$ と $2 x^{2} x$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 0 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.1.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2.2

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 x^{2} + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2.6

$4$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.3

$x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.3.1

$4 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 0 + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.3.2

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 5.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 5.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 5.4

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 5.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ を $x^{4} + 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + 8 x}}{x^{2}}}$

ステップ 7.1.2

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 8}}{x^{2}}}$

ステップ 7.1.3

$x$ を $x \cdot x^{3} + x \cdot 8$ で因数分解します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} + 8)}}{x^{2}}}$

ステップ 7.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} + 2^{3})}}{x^{2}}}$

ステップ 7.3

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}}{x^{2}}}$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}{x^{2}}}$

ステップ 7.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

ステップ 8

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ です。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{4}}}}{1}}$

ステップ 9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

ステップ 9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{1}}$

ステップ 9.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 9.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 9.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x^{2} - 2 x + 4) + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.5

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.6

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.6.1

$x$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} - 2 \cdot x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.6.2

$x$ と $4$ を並べ替えます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} - 2 \cdot x \cdot x + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{2} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 2} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.9

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.10

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1} x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1} x^{1} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1 + 1} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.13.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.13.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13.2.3

$4 x$ を移動させます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13.2.4

$- 2 x^{2}$ を移動させます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13.3

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 0 + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13.4

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13.5

$4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 0 + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.13.6

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.2.14

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.3

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{- \infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{- \infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.2

$\frac{- \infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 10.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.2

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 4] + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.3

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.8

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.9

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.10

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.12

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.13

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.14

$x^{2} - 2 x + 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.15.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 2 x + (x + 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + (x + 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.15.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1} x + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1} x^{1} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.6

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot x + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 2 x - 4 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.8

$4 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 2 x - 4 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.10

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 0 - 4 + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.11

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - 4 + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.12

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.15.4.13

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.3.16

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.4.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.4.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 10.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 11

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

ステップ 11.2

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{1}}{1}}$

ステップ 11.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$- \sqrt{1}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{- \sqrt{1}}$

ステップ 11.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1}}$

ステップ 11.3.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{- \sqrt{1}}$

ステップ 11.3.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 11.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 1}$

ステップ 11.3.5

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

微分積分例