微分積分例

$y = x^{3 x}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{3 x})$

ステップ 2

$3 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{3 x})$ を展開します。

$\ln (y) = 3 x \ln (x)$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = 3 x \ln (x)$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$3 x \ln (x)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [3 x \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$\frac{y'}{y} = 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.5.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = 3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 3.2.5.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = 3 (1 + \ln (x))$

ステップ 3.2.6

簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y'}{y} = 3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

ステップ 3.2.6.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = 3 + 3 \ln (x)$

ステップ 3.2.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = 3 \ln (x) + 3$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (3 \ln (x) + 3) x^{3 x}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x)$ を簡約します。

$y' = (\ln (x^{3}) + 3) x^{3 x}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = \ln (x^{3}) x^{3 x} + 3 x^{3 x}$

ステップ 5.3

$\ln (x^{3}) x^{3 x} + 3 x^{3 x}$ の因数を並べ替えます。

$y' = x^{3 x} \ln (x^{3}) + 3 x^{3 x}$

微分積分 例

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