微分積分例

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1 d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{3} d x + \int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (3 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 7.2

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 7.3

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 7.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 1 d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

ステップ 12.2

簡約します。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$

ステップ 12.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$

微分積分 例

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