微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.2

$\sin (2 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) \sec (x)$

ステップ 2

左側極限を考えます。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (2 x) \sec (x)$

ステップ 3

表を作り、 $x$ が左から $\frac{π}{2}$ に近づくときの関数 $\sin (2 x) \sec (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (2 x) \sec (x) \\ 1.47079632 & 1.99000833 \\ 1.56079632 & 1.9999 \\ 1.56979632 & 1.999999 \end{array}$

ステップ 4

$x$ 値が $\frac{π}{2}$ に近づくので、関数の値は $2$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $\frac{π}{2}$ に近づくときの $\sin (2 x) \sec (x)$ の極限は $2$ です。

$2$

ステップ 5

右側極限を考えます。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (2 x) \sec (x)$

ステップ 6

表を作り、 $x$ が右から $\frac{π}{2}$ に近づくときの関数 $\sin (2 x) \sec (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (2 x) \sec (x) \\ 1.67079632 & 1.99000833 \\ 1.58079632 & 1.9999 \\ 1.57179632 & 1.999999 \end{array}$

ステップ 7

$x$ 値が $\frac{π}{2}$ に近づくので、関数の値は $2$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $\frac{π}{2}$ に近づくときの $\sin (2 x) \sec (x)$ の極限は $2$ です。

$2$

微分積分 例