微分積分例

$lim_{x \to - 4} \frac{7 x + 28}{x^{2} + x - 12}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 4} 7 x + 28}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 4} 7 x + lim_{x \to - 4} 28}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

ステップ 1.1.2.1.2

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 28}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $28$ の極限値を求めます。

$\frac{7 lim_{x \to - 4} x + 28}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{7 \cdot - 4 + 28}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$7$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 28 + 28}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

ステップ 1.1.2.3.2

$- 28$ と $28$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 12}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 12}$

ステップ 1.1.3.3

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 12}$

ステップ 1.1.3.4

すべての $x$ に $- 4$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 4)}^{2} + lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 12}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 4)}^{2} - 4 - 1 \cdot 12}$

ステップ 1.1.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{16 - 4 - 1 \cdot 12}$

ステップ 1.1.3.5.1.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{0}{16 - 4 - 12}$

ステップ 1.1.3.5.2

$16$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{12 - 12}$

ステップ 1.1.3.5.3

$12$ から $12$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 4} \frac{7 x + 28}{x^{2} + x - 12} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [7 x + 28]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [7 x + 28]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $7 x + 28$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [28]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [28]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [28]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [28]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

ステップ 1.3.3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{7 + \frac{d}{d x} [28]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

ステップ 1.3.4

$28$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $28$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{7 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

ステップ 1.3.5

$7$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 4} \frac{7}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} + x - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{7}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{7}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{7}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

ステップ 1.3.9

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{7}{2 x + 1 + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 4} \frac{7}{2 x + 1}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$7 lim_{x \to - 4} \frac{1}{2 x + 1}$

ステップ 2.2

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$7 \frac{lim_{x \to - 4} 1}{lim_{x \to - 4} 2 x + 1}$

ステップ 2.3

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$7 \frac{1}{lim_{x \to - 4} 2 x + 1}$

ステップ 2.4

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$7 \frac{1}{lim_{x \to - 4} 2 x + lim_{x \to - 4} 1}$

ステップ 2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$7 \frac{1}{2 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 1}$

ステップ 2.6

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$7 \frac{1}{2 lim_{x \to - 4} x + 1}$

ステップ 3

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$7 \frac{1}{2 \cdot - 4 + 1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$7 \frac{1}{- 8 + 1}$

ステップ 4.1.2

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$7 (\frac{1}{- 7})$

ステップ 4.2

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$7 \frac{1}{7 (- 1)}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$7 \frac{1}{7 \cdot - 1}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 1}$

ステップ 4.3

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

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