微分積分例

$y = x^{x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{x})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f = x$ および $g = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d y} [x] (x \cdot x^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

ステップ 3.2

指数を足して $x$ に $x^{x - 1}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$x$ に $x^{x - 1}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d y} [x] (x^{1} x^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

ステップ 3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d y} [x] x^{1 + x - 1} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

ステップ 3.2.2

$1 + x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{d}{d y} [x] x^{x + 0} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

ステップ 3.2.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d y} [x] x^{x} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' x^{x} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' x^{x} + x' (x^{x} \ln (x))$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x' = 1$ として書き換えます。

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x' = 1$

ステップ 5.2

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$ の因数を並べ替えます。

$x' x^{x} + x' x^{x} \ln (x) = 1$

ステップ 5.3

$x' x^{x}$ を $x' x^{x} + x' x^{x} \ln (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x' x^{x}$ を $x' x^{x}$ で因数分解します。

$x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x) = 1$

ステップ 5.3.2

$x' x^{x}$ を $x' x^{x} \ln (x)$ で因数分解します。

$x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x) = 1$

ステップ 5.3.3

$x' x^{x}$ を $x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x)$ で因数分解します。

$x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$

ステップ 5.4

$x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$ の各項を $x^{x} (1 + \ln (x))$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$ の各項を $x^{x} (1 + \ln (x))$ で割ります。

$\frac{x' x^{x} (1 + \ln (x))}{x^{x} (1 + \ln (x))} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$x^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' x^{x} (1 + \ln (x))}{x^{x} (1 + \ln (x))} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (1 + \ln (x))}{1 + \ln (x)} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

ステップ 5.4.2.2

$1 + \ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (1 + \ln (x))}{1 + \ln (x)} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

ステップ 5.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

微分積分 例

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